Resolvendo 3x² + 15x - 18 = 0: Guia Bhaskara

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje vamos mergulhar no universo da matemática para resolver um problema que sempre aparece nos nossos estudos: a equação do segundo grau. Especificamente, vamos desvendar a solução da equação 3x² + 15x - 18 = 0. Para isso, vamos usar uma ferramenta poderosa que todo mundo já ouviu falar: a famosa fórmula de Bhaskara. Preparados para essa jornada matemática? Vamos nessa!

O Que é uma Equação do Segundo Grau?

Antes de partirmos para a solução propriamente dita, vamos relembrar o que é uma equação do segundo grau. Pensem nela como um quebra-cabeça matemático, onde temos uma incógnita (x) elevada ao quadrado, além de outros termos com x e um termo independente. A forma geral de uma equação do segundo grau é:

ax² + bx + c = 0

Onde:

• a, b e c são coeficientes numéricos, com a sendo diferente de zero (se a fosse zero, a equação deixaria de ser do segundo grau).
• x é a incógnita que queremos descobrir.

No nosso caso, a equação é 3x² + 15x - 18 = 0. Identificando os coeficientes, temos:

• a = 3
• b = 15
• c = -18

Agora que já sabemos o que é uma equação do segundo grau e identificamos os coeficientes da nossa equação, podemos seguir para o próximo passo: a fórmula de Bhaskara.

A Fórmula Mágica de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é uma ferramenta incrível que nos permite encontrar as raízes (ou soluções) de uma equação do segundo grau. Ela é um pouco intimidadora à primeira vista, mas com a prática se torna nossa grande aliada. A fórmula é a seguinte:

x = (-b ± √Δ) / 2a

Onde:

• x são as raízes da equação.
• a, b são os coeficientes da equação que já identificamos.
• Δ (delta) é o discriminante, que é calculado por: Δ = b² - 4ac

O discriminante (Δ) é uma parte crucial da fórmula, pois ele nos diz quantas raízes a equação possui:

• Se Δ > 0: a equação tem duas raízes reais e diferentes.
• Se Δ = 0: a equação tem duas raízes reais e iguais (ou uma raiz real).
• Se Δ < 0: a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas).

Agora que já conhecemos a fórmula e o papel do discriminante, vamos aplicá-la na nossa equação.

Aplicando Bhaskara na Prática: Passo a Passo

Vamos resolver a equação 3x² + 15x - 18 = 0 usando a fórmula de Bhaskara. Para facilitar, vamos seguir um passo a passo:

1. Calcular o Discriminante (Δ):

Primeiro, precisamos calcular o valor de Δ usando a fórmula Δ = b² - 4ac. Já sabemos que a = 3, b = 15 e c = -18. Substituindo os valores:

Δ = (15)² - 4 * 3 * (-18) Δ = 225 + 216 Δ = 441

Como Δ = 441 é maior que zero, já sabemos que a equação tem duas raízes reais e diferentes. Ótimo!

2. Aplicar a Fórmula de Bhaskara:

Agora que temos o valor de Δ, podemos aplicar a fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √Δ) / 2a. Substituindo os valores:

x = (-15 ± √441) / (2 * 3)

Sabemos que a raiz quadrada de 441 é 21, então:

x = (-15 ± 21) / 6

3. Encontrar as Raízes (x1 e x2):

Agora temos duas possibilidades, uma com o sinal de positivo (+) e outra com o sinal de negativo (-) no ±. Vamos calcular cada uma:

• x1 = (-15 + 21) / 6 x1 = 6 / 6 x1 = 1

• x2 = (-15 - 21) / 6 x2 = -36 / 6 x2 = -6

Pronto! Encontramos as duas raízes da equação: x1 = 1 e x2 = -6. Isso significa que os valores 1 e -6, quando substituídos na equação original, a tornam verdadeira.

Confirmando as Raízes: A Prova dos Nove

Para ter certeza de que acertamos, podemos substituir as raízes encontradas na equação original e verificar se a igualdade se mantém. Vamos lá:

• Para x = 1: 3(1)² + 15(1) - 18 = 0 3 + 15 - 18 = 0 0 = 0 (Verdadeiro!)

• Para x = -6: 3(-6)² + 15(-6) - 18 = 0 3(36) - 90 - 18 = 0 108 - 90 - 18 = 0 0 = 0 (Verdadeiro!)

Como as duas raízes tornam a equação verdadeira, temos a confirmação de que nossa solução está correta. Ufa!

A Resposta Final e as Alternativas

Voltando às alternativas apresentadas na pergunta, temos:

A) x = -6 B) x = 1 C) x = -3 D) x = 2

Com a nossa resolução, podemos concluir que as alternativas corretas são A) x = -6 e B) x = 1. Encontramos as raízes da equação utilizando a fórmula de Bhaskara e confirmamos os resultados substituindo-os na equação original.

Simplificando a Equação: Um Atalho Inteligente

Uma dica extra para resolver equações do segundo grau é sempre verificar se podemos simplificá-las antes de aplicar a fórmula de Bhaskara. No nosso caso, podemos dividir todos os termos da equação 3x² + 15x - 18 = 0 por 3, o que nos daria uma equação mais simples:

x² + 5x - 6 = 0

Essa equação simplificada é equivalente à original e possui as mesmas raízes. Resolver essa equação simplificada usando a fórmula de Bhaskara também nos levaria às mesmas respostas, mas com cálculos um pouco mais fáceis. Fica a dica para as próximas vezes!

Outros Métodos para Resolver Equações do Segundo Grau

Além da fórmula de Bhaskara, existem outros métodos para resolver equações do segundo grau. Um deles é a fatoração, que consiste em reescrever a equação como um produto de dois binômios. Esse método é muito eficiente quando as raízes são números inteiros, mas pode ser um pouco mais complicado em outros casos.

Outro método é o de completar quadrados, que envolve manipular a equação para transformá-la em um quadrado perfeito. Esse método é mais geral e pode ser usado em qualquer equação do segundo grau, mas também exige um pouco mais de habilidade algébrica.

Conhecer diferentes métodos para resolver equações do segundo grau é uma ótima forma de ampliar seu repertório matemático e escolher a melhor abordagem para cada problema.

Conclusão: Dominando as Equações do Segundo Grau

E aí, pessoal! Chegamos ao fim da nossa jornada matemática de hoje. Desvendamos a solução da equação 3x² + 15x - 18 = 0 usando a fórmula de Bhaskara, confirmamos os resultados e ainda exploramos algumas dicas e métodos alternativos. Espero que tenham curtido essa aventura tanto quanto eu!

Lembrem-se: a matemática pode parecer um bicho de sete cabeças às vezes, mas com dedicação, prática e as ferramentas certas, podemos dominar qualquer desafio. Continuem praticando, explorando e se divertindo com os números. Até a próxima!

Se tiverem alguma dúvida ou sugestão, deixem nos comentários. 😉