Domínio Da Função Logarítmica Log₇(9 - X²)

Aug 14, 2025 by Ahmed Latif 43 views

Olá, pessoal! Hoje vamos mergulhar no fascinante mundo das funções logarítmicas e desvendar o mistério do domínio da função log₇(9 - x²). Se você sempre se perguntou como encontrar os valores de x que fazem sentido nessa função, chegou ao lugar certo! Vamos explorar os conceitos por trás do domínio de uma função logarítmica, entender como a expressão dentro do logaritmo influencia o resultado e, claro, resolver passo a passo o problema proposto. Prepare-se para fortalecer seus conhecimentos em matemática e dominar esse tipo de questão!

O que é o Domínio de uma Função Logarítmica?

Antes de nos aprofundarmos na função específica, é crucial entendermos o conceito fundamental de domínio em funções logarítmicas. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (no nosso caso, os valores de x) para os quais a função produz uma saída real e definida. Em outras palavras, são os valores de x que podemos "colocar" na função sem causar nenhuma indeterminação matemática, como divisão por zero ou raiz quadrada de um número negativo.

No caso das funções logarítmicas, como a nossa log₇(9 - x²), existe uma restrição crucial: o argumento do logaritmo (ou seja, a expressão dentro do logaritmo) deve ser estritamente maior que zero. Por que isso? Bem, a função logarítmica é o inverso da função exponencial. A função exponencial, por sua vez, sempre retorna valores positivos, independentemente do expoente. Portanto, para que a função logarítmica tenha um resultado real, ela só pode receber como entrada valores positivos.

Em termos mais simples: não existe logaritmo de um número negativo ou de zero. Se tentarmos calcular log₇(0) ou log₇(-2), por exemplo, não encontraremos um resultado real. Isso significa que o argumento do logaritmo (9 - x² no nosso caso) deve ser sempre maior que zero para que a função log₇(9 - x²) esteja definida.

A restrição do argumento do logaritmo ser maior que zero é a chave para encontrar o domínio da nossa função. Agora que entendemos esse conceito fundamental, podemos aplicá-lo à nossa função específica e descobrir quais valores de x satisfazem essa condição. Vamos juntos desvendar esse mistério e encontrar o domínio da função log₇(9 - x²)!

Aplicando o Conceito ao log₇(9 - x²)

Agora que entendemos a restrição fundamental das funções logarítmicas, podemos aplicá-la diretamente ao nosso problema: encontrar o domínio da função log₇(9 - x²). Lembrem-se: o argumento do logaritmo (9 - x²) deve ser estritamente maior que zero. Isso nos leva à seguinte inequação:

9 - x² > 0

Essa inequação é a chave para determinar o domínio da função. Precisamos encontrar todos os valores de x que satisfazem essa condição. Para resolver essa inequação, podemos seguir alguns passos importantes:

Reorganizar a inequação: Podemos adicionar x² a ambos os lados da inequação para isolar o termo quadrático:

9 > x²
Inverter a inequação: Para facilitar a visualização, podemos inverter a inequação, lembrando de inverter também o sinal de desigualdade:

x² < 9
Extrair a raiz quadrada: Para isolar x, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados da inequação. No entanto, precisamos ter cuidado! Ao extrair a raiz quadrada, devemos considerar tanto a raiz positiva quanto a raiz negativa:

-3 < x < 3

O resultado final nos diz que os valores de x que satisfazem a inequação são aqueles que estão entre -3 e 3, excluindo os próprios -3 e 3. Em outras palavras, o domínio da função log₇(9 - x²) é o intervalo aberto (-3, 3).

Para visualizar isso de forma mais clara, podemos imaginar uma reta numérica. O domínio da função corresponde a todos os pontos entre -3 e 3, sem incluir os extremos. Se escolhermos qualquer valor de x dentro desse intervalo e substituirmos na expressão 9 - x², obteremos um número positivo, que é exatamente o que precisamos para que o logaritmo esteja definido.

Representando o Domínio

Entendemos que o domínio da função log₇(9 - x²) é o intervalo (-3, 3), mas como podemos representar essa informação de forma clara e concisa? Existem algumas maneiras comuns de expressar o domínio de uma função:

Notação de intervalo: Como já vimos, podemos usar a notação de intervalo para representar o domínio como (-3, 3). Os parênteses indicam que os extremos -3 e 3 não estão incluídos no intervalo.
Notação de conjunto: Podemos usar a notação de conjunto para representar o domínio como {x ∈ ℝ | -3 < x < 3}. Essa notação significa "o conjunto de todos os x pertencentes aos números reais, tal que x é maior que -3 e menor que 3".
Representação gráfica: Podemos representar o domínio graficamente em uma reta numérica. Marcamos os pontos -3 e 3 com círculos abertos (para indicar que não estão incluídos) e sombreamos a região entre eles.

A escolha da notação depende do contexto e da preferência pessoal. No entanto, é importante ser consistente e claro na comunicação do domínio da função.

Visualizar o domínio graficamente pode ser especialmente útil para entender o comportamento da função. Podemos ver claramente quais valores de x são permitidos e quais são proibidos. Isso nos ajuda a ter uma compreensão mais profunda da função e de suas propriedades.

Dicas Extras e Casos Especiais

Para finalizar nossa exploração do domínio da função log₇(9 - x²), vamos abordar algumas dicas extras e casos especiais que podem surgir ao lidar com funções logarítmicas:

Funções logarítmicas com diferentes bases: O conceito de domínio que discutimos aqui se aplica a funções logarítmicas com qualquer base (desde que a base seja um número positivo diferente de 1). A restrição do argumento ser maior que zero é sempre válida.
Funções logarítmicas compostas: Se a função logarítmica estiver dentro de outra função (por exemplo, uma raiz quadrada), precisamos considerar as restrições de ambas as funções. Por exemplo, se tivermos √(log₇(9 - x²)), precisamos garantir que tanto o argumento do logaritmo seja maior que zero quanto o logaritmo seja maior ou igual a zero (já que não podemos ter raiz quadrada de um número negativo).
Inequações com módulos: Se a inequação resultante envolver módulos, precisamos ter cuidado ao resolver. Lembre-se que |x| < a significa -a < x < a, e |x| > a significa x < -a ou x > a.
Domínio e imagem: É importante não confundir domínio com imagem. O domínio é o conjunto de valores de entrada (x), enquanto a imagem é o conjunto de valores de saída (y). A imagem de uma função logarítmica é sempre o conjunto de todos os números reais.

Com essas dicas extras, você estará ainda mais preparado para lidar com diferentes tipos de funções logarítmicas e encontrar seus domínios com confiança. Lembre-se sempre da restrição fundamental do argumento ser maior que zero e aplique as técnicas de resolução de inequações que aprendemos.

Conclusão

Chegamos ao fim da nossa jornada para desvendar o domínio da função log₇(9 - x²). Parabéns! Você agora possui um conhecimento sólido sobre como encontrar os valores de x que fazem sentido em funções logarítmicas. Recapitulando, aprendemos que:

O domínio de uma função logarítmica é o conjunto de todos os valores de x para os quais o argumento do logaritmo é estritamente maior que zero.
Para encontrar o domínio de log₇(9 - x²), resolvemos a inequação 9 - x² > 0, obtendo o intervalo (-3, 3).
Existem diferentes formas de representar o domínio, como notação de intervalo, notação de conjunto e representação gráfica.
É importante considerar dicas extras e casos especiais ao lidar com funções logarítmicas compostas ou inequações com módulos.

Com esse conhecimento, você está pronto para enfrentar desafios matemáticos mais complexos e explorar o mundo das funções logarítmicas com confiança. Continue praticando, explorando e aprofundando seus conhecimentos em matemática. Lembre-se, a prática leva à perfeição! E o mais importante, divirta-se com os desafios que a matemática nos proporciona. Até a próxima!